Главная/ 8 класс/Перевод в десятичную

Перевод в десятичную систему чисел, записанных в других системах счисления

📘 8 класс · 🎯 Развёрнутая запись, алгоритм перевода, примеры

На прошлом уроке мы разобрались, что такое позиционная система счисления и как выглядит развёрнутая запись числа. Сегодня мы научимся применять этот аппарат на практике: любое число из любой системы счисления можно перевести в привычную десятичную - и наоборот. Разберём алгоритм, покажем примеры и свяжем материал с интерактивом «Весы».

1. Введение: зачем переводить в десятичную

Компьютеры работают в двоичной системе, программисты часто используют шестнадцатеричную и восьмеричную. А мы, люди, привыкли к десятичной. Поэтому перевод чисел между системами счисления - это одна из базовых операций в информатике.

Сегодня мы разберём перевод из любой системы счисления в десятичную. Обратная задача - перевод из десятичной в другую - обычно сложнее, и мы поговорим о ней отдельно.

Слайд 1 / 10

Зачем это нужно

  • Программирование. В коде встречаются записи вида 0b10110 (двоичное) и 0x2F (шестнадцатеричное). Понимать их значение - база работы с низким уровнем.
  • Цвета на сайтах. Код #FF0000 - это на самом деле шестнадцатеричная запись красного цвета.
  • Проверка устройств. Ёмкость диска, объём памяти, скорость сети - всё считается в степенях двойки.
  • Взвешивание. Наш интерактив «Весы» устроен именно на этом принципе - разберём его в конце урока.

2. Напоминание: позиционный принцип

На прошлом уроке мы установили главное: в позиционной системе счисления значение цифры зависит от её позиции в записи числа. Каждая позиция имеет свой вес - это основание системы в степени номера разряда.

Слайд 2 / 10

Свёрнутая и развёрнутая форма

Число 325 в десятичной системе - это свёрнутая запись. В развёрнутой форме оно выглядит так:

325 = 3·10² + 2·10¹ + 5·10⁰

То же самое работает в любой системе. Число 1011₂ в развёрнутой форме:

1011₂ = 1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 1·2⁰

Нижний индекс 2 указывает на основание системы. Так записывают, чтобы не путать числа из разных систем.

3. Формула разложения - основа перевода

Всё, что нужно для перевода в десятичную, - это записать число в развёрнутой форме и посчитать результат.

Слайд 3 / 10

Общая формула

X = an·sn + ... + a1·s1 + a0·s0
  • X - результат в десятичной системе;
  • ai - цифра на позиции i;
  • s - основание исходной системы;
  • n - номер старшего разряда.

Запомните мнемонику: «каждая цифра умножается на вес своего разряда». Вес разряда - это основание системы в степени номера позиции. Нумерация позиций идёт справа налево, начиная с нуля.

4. Пошаговый алгоритм

Чтобы перевести число из системы с основанием s в десятичную:

Слайд 4 / 10

Пять шагов

  1. Определите основание исходной системы счисления s.
  2. Пронумеруйте разряды справа налево, начиная с нуля: 0, 1, 2, 3...
  3. Умножьте каждую цифру на s в степени её номера разряда.
  4. Сложите все получившиеся произведения.
  5. Получите результат - это число в десятичной системе.
💡
Полезная привычка Всегда записывайте развёрнутую форму полностью - даже если кажется, что можно посчитать в уме. Это помогает не путать степени и не терять нулевые цифры. Наппример число 17 в двоичной системе будет 10001. Но использовали мы только 2 гирьки (16 и 1 кг) 000 - это гирьки которые мы не брали, но они были. За ними застолбнен разряд. Как в обычном числе 2048 , сотен нет (0) но номер занят

5. Пример: из двоичной в десятичную

Переведём число 10110₂. Основание системы s = 2, в записи 5 разрядов.

Слайд 5 / 10

Число 10110₂ по разрядам

1 разряд 4 2⁴ = 16
0 разряд 3 2³ = 8
1 разряд 2 2² = 4
1 разряд 1 2¹ = 2
0 разряд 0 2⁰ = 1
10110₂ = 1·2⁴ + 0·2³ + 1·2² + 1·2¹ + 0·2⁰ = 1·16 + 0·8 + 1·4 + 1·2 + 0·1 = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22₁₀

Нули в разрядах 3 и 0 не дают вклада, но их важно не потерять - они «держат» остальные цифры на своих позициях.

6. Пример: из восьмеричной в десятичную

Число 345₈. Основание системы s = 8, три разряда.

Слайд 6 / 10

Число 345₈ по разрядам

3 разряд 2 8² = 64
4 разряд 1 8¹ = 8
5 разряд 0 8⁰ = 1
345₈ = 3·8² + 4·8¹ + 5·8⁰ = 3·64 + 4·8 + 5·1 = 192 + 32 + 5 = 229₁₀

7. Пример: из шестнадцатеричной в десятичную

Число 2F₁₆. Основание s = 16. Здесь важно помнить: буквы A...F обозначают числа от 10 до 15.

Слайд 7 / 10

Число 2F₁₆ по разрядам

2 разряд 1 16¹ = 16
F разряд 0 16⁰ = 1
Заменяем букву: F = 15 2F₁₆ = 2·16¹ + 15·16⁰ = 32 + 15 = 47₁₀

Ключевой момент: буква F перед подстановкой в формулу превращается в число 15. Так же A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14.

⚠️
Особенность шестнадцатеричной системы В ней цифра в одном разряде может принимать 16 разных значений (от 0 до 15). Для значений 10-15 используют латинские буквы A-F, потому что писать «две цифры в одном разряде» (например, 1 и 0 для десятки) было бы неоднозначно.

8. Дробные числа

Правило распространяется и на дробную часть. Степени основания для разрядов после точки становятся отрицательными.

Слайд 8 / 10

Пример: 10,1₂

10,1₂ = 1·2¹ + 0·2⁰ + 1·2⁻¹ = 2 + 0 + 1/2 = 2,5₁₀

И посложнее - 11,01₂:

11,01₂ = 1·2¹ + 1·2⁰ + 0·2⁻¹ + 1·2⁻² = 2 + 1 + 0 + 1/4 = 3,25₁₀

Отрицательные степени основания - это простые дроби:

  • 2⁻¹ = 1/2 = 0,5
  • 2⁻² = 1/4 = 0,25
  • 2⁻³ = 1/8 = 0,125
  • 8⁻¹ = 1/8 = 0,125
  • 16⁻¹ = 1/16 = 0,0625

9. Типичные ошибки

Слайд 9 / 10

На чём чаще всего спотыкаются

  • Неверная нумерация разрядов. Считать нужно справа налево, начиная с нуля. Не с единицы!
  • Путаница с основанием. Если число 101 в двоичной - основание 2. Если в троичной - основание 3. Всегда смотрите на индекс или на условие задачи.
  • Ошибка с буквами. В шестнадцатеричной системе F = 15, а не «просто буква». Подставлять нужно число.
  • Потеря нулевых цифр. Ноль не даёт вклада в сумму, но его разряд занимает место. Если пропустить позицию нуля - степени следующих цифр сдвинутся, и результат будет неверным.
  • Забыли степень 0. Самый правый разряд - это s⁰ = 1, а не «s без степени». Умножать на 1 тоже нужно.

10. Связь с интерактивом «Весы»

Помните интерактив «Весы и системы счисления»? Там мы взвешивали товар гирьками 1, Y, Y², Y³ кг - где Y это основание системы счисления.

Слайд 10 / 10

Взвешивание - это и есть разложение

Когда мы взвешивали товар на 17 кг гирьками 1, 3, 9 кг (основание Y = 3), мы фактически записывали число 17 в троичной системе:

17 = 1·3² + 2·3¹ + 2·3⁰ = 122₃

Что происходило на весах:

  • 1 гирька 9 кг - это старший разряд троичной записи (3² = 9).
  • 2 гирьки 3 кг - средний разряд (3¹ = 3).
  • 2 гирьки 1 кг - младший разряд (3⁰ = 1).

Итого: 1·9 + 2·3 + 2·1 = 17. Цифры разложения в троичной системе (1, 2, 2) - это и есть количество гирек каждого вида.

✓
Главная мысль Перевод в десятичную - это операция, обратная к «раскладыванию по гирькам». Если взвешивание показывает, что число 17 в троичной системе равно 122₃, то перевод в десятичную даёт обратный результат: 122₃ = 17₁₀.

11. Практика и домашнее задание

Разбор примеров

Попробуйте перевести самостоятельно:

  1. 1101₂ в десятичную.
  2. 451₈ в десятичную.
  3. B7₁₆ в десятичную (B = 11).
  4. 10011₂ в десятичную.
  5. 101,11₂ в десятичную (с дробной частью).

Проверка

Число Развёрнутая запись Результат
1101₂ 1·8 + 1·4 + 0·2 + 1·1 13₁₀
451₈ 4·64 + 5·8 + 1·1 297₁₀
B7₁₆ 11·16 + 7·1 183₁₀
10011₂ 1·16 + 0·8 + 0·4 + 1·2 + 1·1 19₁₀
101,11₂ 1·4 + 0·2 + 1·1 + 1·0,5 + 1·0,25 5,75₁₀

Домашнее задание

  1. Запишите развёрнутую форму числа 110110₂ и посчитайте результат.
  2. Переведите в десятичную: 72₈, 3F₁₆, 10101₂.
  3. Переведите с дробной частью: 10,11₂, 7,4₈.
  4. Придумайте своё число в любой системе счисления (не меньше 4 знаков), переведите его в десятичную и проверьте себя через интерактив «Весы»: подберите Y = основание вашей системы, задайте вес равным полученному результату и убедитесь, что весы уравновешиваются теми же гирьками.