Главная/ 8 класс/Двоичная система

Двоичная система счисления

📘 8 класс · 🎯 Только 0 и 1, степени двойки, байты

Мы уже знаем, что такое системы счисления, умеем записывать числа в развёрнутой форме и переводить их в десятичную. Теперь разберём двоичную систему - самую главную для информатики, потому что на ней работают все компьютеры. И покажем, как связаны двоичная запись и знакомый нам интерактив «Весы».

1. Почему именно двоичная

Из всех возможных систем счисления компьютеры выбрали именно двоичную. Причина простая: её легко реализовать физически.

Слайд 1 / 10

Два устойчивых состояния

Любой электронный элемент проще всего сделать так, чтобы он имел два устойчивых состояния:

  • Ток есть - это 1
  • Тока нет - это 0

Такие элементы надёжны, дёшевы и не путаются между состояниями. А вот сделать надёжный элемент с десятью устойчивыми состояниями (для десятичной системы) - задача куда сложнее.

Поэтому компьютер - это миллиарды выключателей, каждый из которых либо пропускает ток, либо нет. Все они работают в двоичной системе.

2. Цифры двоичной системы

В десятичной системе мы используем десять цифр (0-9). В двоичной - только две: 0 и 1. Отсюда и название: основание системы s = 2.

Слайд 2 / 10

Одна цифра - один бит

Каждая цифра в двоичной записи называется битом (от английского binary digit - «двоичная цифра»).

Один бит - это информация о выборе из двух равновероятных вариантов. Это минимальная единица информации в информатике.

1 - один бит, значение «включено» 0 - один бит, значение «выключено» 101 - три бита (три разряда)

3. Степени двойки

Вес каждого разряда в двоичной системе - это степень двойки. Их полезно знать наизусть хотя бы до 10-й степени.

Слайд 3 / 10

Таблица степеней двойки

2⁰
1
2¹
2
2²
4
2³
8
2⁴
16
2⁵
32
2⁶
64
2⁷
128
2⁸
256
2⁹
512
2¹⁰
1024

Каждое следующее число вдвое больше предыдущего. Это ключ ко всем расчётам в двоичной системе.

4. Гирьки для двоичных чисел

Помните интерактив «Весы»? Там у нас были гирьки 1, Y, Y², Y³ кг. В двоичной системе Y = 2, значит гирьки весят: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... - те же степени двойки.

Слайд 4 / 10

Главное отличие от других систем

Вспомните, как было в троичной системе (Y = 3). Чтобы собрать цифру 2 в разряде, нам нужно было две гирьки одного веса. В десятичной системе (Y = 10) - до девяти гирек.

В двоичной системе всё проще: цифра в разряде может быть только 0 или 1. Значит, каждого вида гирек нам нужно не больше одной штуки.

Гирька 1 кг - берём или нет Гирька 2 кг - берём или нет Гирька 4 кг - берём или нет Гирька 8 кг - берём или нет Гирька 16 кг - берём или нет ...

«Берём» - это 1 в соответствующем разряде. «Не берём» - это 0.

💡
Ключевая идея В двоичной системе каждая гирька существует в единственном экземпляре. Мы решаем только одно: брать её или не брать. Поэтому любое число можно собрать ровно одним способом - и этот способ и есть его двоичная запись.

5. Перевод из двоичной в десятичную

Мы уже умеем это делать - через развёрнутую запись. Просто теперь основание системы всегда равно 2.

Слайд 5 / 10

Пример: 10110₂

1 разряд 4 16
0 разряд 3 8
1 разряд 2 4
1 разряд 1 2
0 разряд 0 1
10110₂ = 1·16 + 0·8 + 1·4 + 1·2 + 0·1 = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22₁₀

Зелёным выделены разряды, где стоит 1. Только они дают вклад в сумму. Разряды с 0 «молчат».

Это легко представить и на весах: мы положили гирьки 16, 4 и 2 кг. Общий вес - 22 кг. Значит, 10110₂ = 22₁₀.

6. Перевод из десятичной в двоичную

Обратная задача: дано число в десятичной системе, надо записать его в двоичной. Есть два подхода - через гирьки и через деление.

Слайд 6 / 10

Способ 1: через степени двойки (гирьки)

Возьмём число 22. Найдём самую большую степень двойки, не превышающую 22.

  1. Смотрим таблицу: 16 подходит, 32 - уже много. Значит, в разряд 4 ставим 1. Остаток: 22 - 16 = 6.
  2. Следующая степень - 8. Она больше 6, значит, разряд 3 пропускаем. Ставим 0.
  3. Следующая - 4. Она не больше 6. Разряд 2 = 1. Остаток: 6 - 4 = 2.
  4. Следующая - 2. Разряд 1 = 1. Остаток: 2 - 2 = 0.
  5. Следующая - 1. Осталось 0, значит, разряд 0 = 0.
Записываем разряды от старшего к младшему: 22₁₀ = 10110₂
Слайд 7 / 10

Способ 2: деление на 2 с остатком

Тот же пример - число 22. Делим на 2 и записываем остатки.

22 ÷ 2 = 11, остаток 0 11 ÷ 2 = 5, остаток 1 5 ÷ 2 = 2, остаток 1 2 ÷ 2 = 1, остаток 0 1 ÷ 2 = 0, остаток 1 Читаем остатки снизу вверх: 10110

Этот способ удобнее для больших чисел - не нужно искать самую большую степень. Но важно не забыть прочитать остатки в обратном порядке - от последнего к первому.

7. Байт: восемь битов

Одиночный бит содержит мало информации. На практике используют группы битов. Стандартная группа - 8 битов = 1 байт.

Слайд 8 / 10

Сколько значений в одном байте

В одном байте 8 разрядов. Каждый может быть 0 или 1. Значит, всего возможных значений:

2⁸ = 256

От 0 (все нули: 00000000) до 255 (все единицы: 11111111). Ровно 256 разных чисел.

Пример байта со значением 22:

0128
064
032
116
08
14
12
01

00010110₂ = 16 + 4 + 2 = 22₁₀

⚠️
Не путайте биты и байты Бит - одна цифра (0 или 1). Байт - восемь битов. Скорость интернета измеряют в мегабитах в секунду (Мбит/с), а размер файлов - в мегабайтах (МБ). В одном байте 8 бит - помните это, когда пересчитываете.

8. Где встречается двоичная система

Слайд 9 / 10

Повсюду вокруг нас

  • Тексты. Каждая буква - это код из 8 битов. Буква «А» в кодировке Windows-1251 = 192₁₀ = 11000000₂.
  • Цвета на сайте. Каждый пиксель хранится как три байта: красный, зелёный, синий. Пример #FF0000 - это FF (255) красного, 0 зелёного, 0 синего.
  • Изображения. Растровая картинка - это таблица чисел, где каждое число описывает яркость одной точки.
  • Пароли и шифры. Криптография работает с битами: ключи, хеши, подписи - всё это длинные двоичные последовательности.
  • Нейросети. Современный ИИ - это миллиарды чисел, которые тоже представлены в двоичном виде внутри видеокарт и процессоров.

9. Связь с интерактивом «Весы»

Откройте интерактив «Весы и системы счисления» и поставьте основание Y = 2. У продавца будут гирьки 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 кг.

Слайд 10 / 10

Двоичное взвешивание

Попробуйте взвесить товар весом 22 кг.

Оптимальный набор гирек:

22 кг = 16 кг + 4 кг + 2 кг 1 шт. × 16 кг → разряд 4 0 шт. × 8 кг → разряд 3 1 шт. × 4 кг → разряд 2 1 шт. × 2 кг → разряд 1 0 шт. × 1 кг → разряд 0 Двоичная запись: 10110₂

Количество гирек каждого вида (0 или 1) - это и есть цифры двоичной записи числа. Само число 22 = 16 + 4 + 2 = 1·16 + 0·8 + 1·4 + 1·2 + 0·1.

✓
Идея в одной фразе Двоичная запись числа - это способ собрать его из степеней двойки, где каждая гирька либо берётся, либо нет. Всего одна гирька каждого вида - потому что цифры только 0 и 1.

10. Практика и домашнее задание

Разбор примеров

Переведите в десятичную:

  1. 1101₂
  2. 10011₂
  3. 11111111₂
  4. 101010₂

Переведите в двоичную:

  1. 13₁₀
  2. 45₁₀
  3. 100₁₀
  4. 200₁₀

Проверка

ЗадачаРешениеОтвет
1101₂ → ?₁₀ 1·8 + 1·4 + 0·2 + 1·1 13₁₀
10011₂ → ?₁₀ 1·16 + 0·8 + 0·4 + 1·2 + 1·1 19₁₀
11111111₂ → ?₁₀ 128+64+32+16+8+4+2+1 255₁₀
101010₂ → ?₁₀ 1·32 + 0·16 + 1·8 + 0·4 + 1·2 + 0·1 42₁₀
13₁₀ → ?₂ 13 = 8 + 4 + 1 1101₂
45₁₀ → ?₂ 45 = 32 + 8 + 4 + 1 101101₂
100₁₀ → ?₂ 100 = 64 + 32 + 4 1100100₂
200₁₀ → ?₂ 200 = 128 + 64 + 8 11001000₂

Домашнее задание

  1. Переведите в десятичную: 1010₂, 11100₂, 100000₂.
  2. Переведите в двоичную: 7₁₀, 50₁₀, 128₁₀.
  3. Сколько битов нужно, чтобы записать число 1000 в двоичной системе?
  4. Откройте интерактив «Весы», поставьте основание Y = 2 и вес товара 45 кг. Соберите оптимальный набор гирек и убедитесь, что он соответствует записи 101101₂, которую вы получили в задаче 2.
  5. Проверьте себя: какое максимальное число поместится в один байт? А сколько всего различных значений можно сохранить в байте?