Системы счисления. Позиционный и непозиционный принципы

1. Введение

Исторически человечество прошло путь от зарубок на костях до сложнейших компьютерных алгоритмов. Все многообразие систем счисления принято делить на две большие группы: непозиционные и позиционные.

Слайд 1 / 10

Что такое система счисления

Система счисления - способ записи чисел с помощью набора символов (цифр) по строго определённым правилам.

Это фундамент математики: без единой системы записи нельзя ни передать данные, ни выполнить вычисления. Сегодня в повседневности мы пользуемся десятичной системой, но компьютеры «говорят» на двоичной, а веб-дизайнеры - на шестнадцатеричной.

2. Непозиционные системы счисления

Непозиционная система - самая древняя форма записи чисел. Её главная особенность: значение символа не зависит от его места (позиции) в записи числа. Если знак обозначает «десять», он будет означать десять и в начале, и в середине, и в конце числа.

Слайд 2 / 10

Основные характеристики

Отсутствие цифры ноль. Долгое время концепция пустоты была недоступна.
Громоздкость при записи больших величин.
Сложность арифметики. Умножение и деление превращаются в многоступенчатые задачи.

Именно эти недостатки заставили человечество изобрести позиционный принцип.

3. Примеры непозиционных систем

Единичная (унарная) система

Самая первая система счёта. Число передавалось количеством одинаковых знаков. Например, пять мамонтов рисовались как пять черточек. Мы используем её остатки до сих пор, когда ставим палочки для подсчёта чего-либо.

Слайд 3 / 10

Единичная система

Число 7 в унарной системе:

| | | | | | |

Главный минус: число 1000 потребует тысячи идентичных символов.

Древнеегипетская десятичная система

Египтяне сделали шаг вперёд, создав иерархию знаков. У них были отдельные символы для единицы (черта), десятка (подкова или путы), сотни (спираль). Чтобы записать число 243, они просто рисовали два знака сотни, четыре знака десятка и три знака единицы.

Слайд 4 / 10

Древнеегипетская система - число 243

243 = 🌀🌀 + ∩∩∩∩ + |||

Порядок знаков неважен - важно лишь общее количество каждого знака. Именно так непозиционная система работает: символ имеет фиксированную «цену», где бы он ни стоял.

Римская система счисления

Самый известный пример, дошедший до наших дней. В ней используются латинские буквы.

I= 1

V= 5

X= 10

L= 50

C= 100

D= 500

M= 1000

Слайд 5 / 10

Римская система: принцип вычитания

В римской системе появилось важное новшество - принцип вычитания:

IV = 4 (1 перед 5 → вычитаем) IX = 9 (1 перед 10 → вычитаем) XIV = 14 (10 + 4) MCMXCIV = 1994

Однако это лишь внешнее сходство с позиционной логикой. Значение буквы X всегда равно 10 - вне зависимости от того, окружена она единицами или сотнями. Именно поэтому римскими цифрами пишут века и главы книг, но никогда не считают налоги или бюджет государства.

Алфавитные системы (греческая, славянская)

Здесь числа записывались буквами алфавита. Над буквой ставился специальный значок (титло), чтобы отличать слово от числа. Это было удобно для летописей, но совершенно непригодно для математики.

4. Позиционные системы счисления

Позиционная система стала величайшим математическим изобретением цивилизации. Идея проста и гениальна: значение цифры определяется её местом в числе. Появление нуля позволило зафиксировать отсутствие разряда, сделав запись компактной.

Слайд 6 / 10

Позиционный принцип: 505 vs 550

Возьмём привычное нам число 505:

505 ← 5 сотен, 0 десятков, 5 единиц 550 ← 5 сотен, 5 десятков, 0 единиц

Одна и та же цифра 5 в разных позициях даёт разные числа: в первом случае это «пять сотен» и «пять единиц», во втором - «пять сотен» и «пять десятков». Поменяли местами - смысл числа полностью изменился.

5. Формула разложения числа по разрядам

Любое целое число A в позиционной системе с основанием s можно представить в виде суммы степеней этого основания. Это и есть развёрнутая запись числа.

Слайд 7 / 10

Общая формула

A = a_n · sⁿ + a_n−1 · sⁿ⁻¹ + … + a₁ · s¹ + a₀ · s⁰

где:

a - цифры числа;
s - основание системы счисления;
n - номер разряда.

Например, число 325₁₀ в десятичной системе:

325 = 3 · 10² + 2 · 10¹ + 5 · 10⁰ = 3 · 100 + 2 · 10 + 5 · 1 = 300 + 20 + 5

6. Основные позиционные системы

Основание s = 10

Десятичная

Наша повседневная система. Историки связывают её появление с тем, что у человека десять пальцев на руках.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Основание s = 2

Двоичная

Язык современной цифровой техники. Идеальна для электроники: есть ток (1) или нет тока (0).

0 1

Основание s = 8

Восьмеричная

Одна восьмеричная цифра заменяет три двоичных бита. Используется в программировании.

0 1 2 3 4 5 6 7

Основание s = 16

Шестнадцатеричная

Одна цифра заменяет четыре бита. К цифрам добавляются латинские буквы.

0–9 A B C D E F

Двоичная система - язык компьютеров

Любая информация в компьютере - текст, картинка или видео - в конечном итоге представлена последовательностью нулей и единиц.

Слайд 8 / 10

Пример перевода из двоичной в десятичную

1011₂ = 1 · 2³ + 0 · 2² + 1 · 2¹ + 1 · 2⁰ = 1 · 8 + 0 · 4 + 1 · 2 + 1 · 1 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

Читается так: «один-ноль-один-один в двоичной системе равен одиннадцати в десятичной».

Восьмеричная и шестнадцатеричная

Используются в программировании как более короткая и удобная для человека форма записи двоичного кода. Одна восьмеричная цифра заменяет три двоичных бита, а одна шестнадцатеричная - сразу четыре.

Слайд 9 / 10

Шестнадцатеричные цифры и веб-цвета

В шестнадцатеричной системе к цифрам добавляются латинские буквы:

A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 F = 15

Мы встречаем их каждый день - например, в кодах цветов веб-дизайна:

#FF0000 - чистый красный #00FF00 - чистый зелёный #0000FF - чистый синий

7. Смешанные системы

Существует промежуточный тип, объединяющий черты обоих принципов. Ярчайший пример - измерение времени. Здесь разные разряды имеют разное основание:

Секунды и минуты считаются в шестидесятеричной системе (60 секунд = 1 минута).
Часы внутри суток считаются в двадцатичетырёхричной (24 часа).
Дни группируются в месяцы разной длины, а месяцы - в год.

Слайд 10 / 10

Смешанная система: 12:45

Когда мы видим время 12:45, мы интуитивно понимаем структуру, но компьютер не может обработать эту запись напрямую как единое число.

12:45 → 12 · 60 · 60 + 45 · 60 = 43 200 + 2 700 = 45 900 секунд от начала суток

Чтобы посчитать или сравнить два времени, компьютер переводит всё в единую систему - например, в секунды.

8. Заключение и практика

Главное различие между системами кроется в одном вопросе: меняет ли своё абсолютное значение символ, если сдвинуть его на одну позицию влево?

В непозиционных системах (римские X и I) - нет. Это делает их наглядными, но беспомощными перед лицом сложных расчётов.
В позиционных системах (арабские цифры) - да. Благодаря этому принципу, появлению нуля и строгому основанию стало возможным развитие алгебры, высшей математики и создание цифровых вычислительных машин.

✓

Ключевая мысль Позиционная система - это не «ещё одна запись», а инструмент, который делает возможной всю современную математику и информатику. Именно поэтому 8 класс изучает её особенно подробно.