Главная/ 8 класс/Развёрнутая запись числа

Развёрнутая запись числа

📘 8 класс · 🎯 Позиционные системы счисления

Развёрнутая запись - это способ показать, из чего складывается число. Вместо компактной записи «572» мы пишем сумму: 5·100 + 7·10 + 2·1. Понимание этой формы открывает дорогу к другим системам счисления: двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной.

1. Что такое развёрнутая запись

В повседневной жизни мы пользуемся свёрнутой формой записи чисел. Когда мы пишем «572», мы понимаем это как одно число, но за каждой цифрой стоит свой вес - своя позиция.

Развёрнутая запись (или разложение по разрядам) показывает, что любое число - это сумма произведений каждой цифры на её весовой коэффициент.

Слайд 1 / 7

Идея в одной фразе

Каждая цифра в записи числа «весит» по-разному - в зависимости от того, на каком месте она стоит.

Цифра 5 в числе 572 - это «пять сотен», цифра 7 - «семь десятков», цифра 2 - «две единицы».

2. Формула разложения

В позиционной системе с основанием q любое число записывается как сумма произведений его цифр на степени основания.

Слайд 2 / 7

Общая формула

X = an·qn + … + a1·q1 + a0·q0

где:

  • X - число;
  • ai - цифра на позиции i (от 0 справа налево);
  • q - основание системы счисления;
  • n - номер старшего разряда.

Значок q0 - это 1: любое число в нулевой степени равно единице. Поэтому последняя цифра всегда умножается на 1.

3. Примеры в десятичной системе

Разберём число 572 в привычной десятичной системе (основание q = 10).

Слайд 3 / 7

Число 572 по разрядам

5 разряд 2 10² = 100
7 разряд 1 10¹ = 10
2 разряд 0 10⁰ = 1
572 = 5·10² + 7·10¹ + 2·10⁰ = 5·100 + 7·10 + 2·1 = 500 + 70 + 2

Обратите внимание: позиции считаются справа налево, начиная с нуля. Самая правая цифра - разряд 0, следующая - 1, и так далее.

Слайд 4 / 7

Ещё пример - 4029

4 разряд 3 10³ = 1000
0 разряд 2 10² = 100
2 разряд 1 10¹ = 10
9 разряд 0 10⁰ = 1
4029 = 4·10³ + 0·10² + 2·10¹ + 9·10⁰ = 4000 + 0 + 20 + 9 = 4029

Ноль в разряде сотен означает, что вклад этого разряда - ноль. Но позиция цифры «2» от этого не сдвигается - она по-прежнему в разряде десятков.

4. Другие системы счисления

Сила развёрнутой записи в том, что она работает в любой позиционной системе. Меняется только основание q.

Слайд 5 / 7

Двоичная система (q = 2)

Возьмём двоичное число 10110₂. Цифры - только 0 и 1.

10110₂ = 1·2⁴ + 0·2³ + 1·2² + 1·2¹ + 0·2⁰ = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22₁₀

Читается как «один-ноль-один-один-ноль в двоичной системе равен двадцати двум в десятичной».

Слайд 6 / 7

Восьмеричная и шестнадцатеричная

Восьмеричная (q = 8): цифры от 0 до 7.

345₈ = 3·8² + 4·8¹ + 5·8⁰ = 3·64 + 4·8 + 5 = 229₁₀

Шестнадцатеричная (q = 16): цифры 0–9 и буквы A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15.

2F₁₆ = 2·16¹ + 15·16⁰ = 32 + 15 = 47₁₀

Привычный значок 1A3 в шестнадцатеричной системе читается как «один, A, три». Для записи чисел больше 9 в одном разряде нужна буквенная цифра - поэтому в hex-коде программисты встречают A, B, C, D, E, F.

5. Дробные числа

Развёрнутая запись работает и с дробной частью. Только для цифр после запятой степени основания становятся отрицательными.

Слайд 7 / 7

Число 25,34 в десятичной системе

25,34 = 2·10¹ + 5·10⁰ + 3·10⁻¹ + 4·10⁻² = 20 + 5 + 0,3 + 0,04 = 25,34

Первая цифра после запятой весит 10⁻¹ = 0,1. Вторая - 10⁻² = 0,01. Третья - 10⁻³ = 0,001. И так далее.

То же правило действует в любой системе. Например, в двоичной дроби 10,1₂:

10,1₂ = 1·2¹ + 0·2⁰ + 1·2⁻¹ = 2 + 0 + 0,5 = 2,5₁₀

6. Зачем это нужно

На первый взгляд кажется, что развёрнутая запись - это просто красивая формула, которую просят на уроке. На самом деле это рабочий инструмент:

  • Перевод между системами счисления. Из любой системы в десятичную число переводится именно через развёрнутую запись - складываем веса цифр.
  • Понимание работы компьютера. Процессор хранит данные в двоичном виде. Развёрнутая запись показывает, как 0 и 1 складываются в привычные нам числа.
  • Программирование. Шестнадцатеричные и двоичные литералы в коде (0x2F, 0b10110) читаются и понимаются через развёрнутую запись.
  • Криптография и сжатие. Все алгоритмы кодирования чисел (в том числе Хаффман и LZW, которые мы разбираем в 11 классе) работают с битовым представлением, и развёрнутая запись - их фундамент.